卡诺图求解器 (K-Map)

使用卡诺图化简布尔函数

卡诺图（K-Map）会把只相差一个变量的输入组合放在相邻位置，让布尔函数中的可合并部分更容易看出来。

本工具支持 2、3、4 和 5 个变量。你可以直接操作卡诺图，也可以从真值表、布尔表达式、最小项或最大项开始。

这些输入方式表示的是同一个函数。修改其中一个值后，其他视图也会同步更新。

0、1 和 X 分别表示什么？

每个 K-Map 单元格可以是：

• 1 — 该输入组合下函数为真；
• 0 — 该输入组合下函数为假；
• X — 该输入组合的输出不需要固定。

X表示 don't-care 条件。如果它能帮助形成更大的分组并减少变量，就可以使用；如果没有帮助，也可以忽略。

从真值表到 K-Map

真值表列出所有可能的输入组合以及对应输出。

卡诺图使用相同的数据，但按 Gray code 排列单元格，因此相邻单元格只会有一个变量不同。

例如：

A'B'

A'B

只有 B发生变化。

因此这两个项可以化简为：

A'

在一个分组中发生变化的变量，不需要保留在最终项中。

同样的原理也适用于 4、8 或 16 个单元格组成的分组。

最小项、最大项和布尔表达式

如果题目已经给出了最小项编号，就不必逐个填写 K-Map 单元格。

例如：

Σm(1,3,5,7)

表示输出为 1 的最小项。

而：

ΠM(0,2,4,6)

表示输出为 0 的最大项。

你也可以直接输入布尔表达式。

Solver 会计算表达式在所有输入组合下的结果，并生成相应的真值表、K-Map、最小项和最大项。

这样可以在同一页面中比较一个布尔函数的不同表示形式。

K-Map 分组规则

有效分组中的单元格数量必须是 2 的幂：

1, 2, 4, 8, 16

通常，合法分组越大，最终表达式中保留的文字越少。

卡诺图的边缘也是相邻的。

最左侧单元格可以和最右侧单元格组成分组，上边缘和下边缘也一样。

因此，四个角也可能组成一个合法分组。

分组还可以重叠。如果同一个单元格参与多个分组能得到更简单的表达式，这种做法是允许的。

Solver 会直接在卡诺图中显示使用到的分组，便于对照最终结果。

SOP 与 POS

SOP (Sum of Products)主要从输出为 1 的单元格开始进行化简。

例如：

A'B + BC

POS (Product of Sums)则主要使用输出为 0 的单元格。

例如：

(A + B')(B + C)

SOP 并不一定总是比 POS 更短。

有些函数用 SOP 表示更简单，而有些函数使用 POS 时会需要更少的项或文字。

如果题目没有规定格式，可以比较两种结果。

Quine-McCluskey 与 Petrick's Method

在较小的 K-Map 中，合适的分组通常比较容易直接看出来。

但是对于 4 或 5 个变量的函数，可能会存在多个有效覆盖。

Solver 使用 Quine-McCluskey 系统地寻找 implicant。

不能再继续扩大的 implicant 称为 prime implicant。

其中有些 prime implicant 是必需的，因为它们覆盖了其他 prime implicant 无法覆盖的必要最小项。

如果选择这些必需项后仍有多个可行覆盖，Petrick's Method会用于分析剩余组合。

这在仅凭卡诺图外观无法立即判断哪个分组组合更合适时尤其有用。

2～5 变量卡诺图

2 变量 K-Map有 4 个单元格。

3 变量 K-Map有 8 个单元格，也更容易看出两侧边缘之间的邻接关系。

4 变量卡诺图有 16 个单元格，在数字逻辑课程中很常见。

5 变量 K-Map包含 32 种输入组合。当存在多个 prime implicant 或 don't-care 条件时，手动化简会明显更复杂。

在所有支持的变量数量下，Solver 都会让 K-Map、真值表、表达式、最小项和最大项保持同步。

逻辑电路与 PDF 导出

化简后的结果不仅可以显示为布尔表达式。

还可以生成逻辑电路，直观看到 SOP 或 POS 结果如何对应 AND、OR、NOT 门。

结果区域也可以显示项数、文字数和逻辑门数量。

如果需要保存完整过程，可以把 K-Map、分组、步骤和电路一起导出为 PDF。